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三、函数与三角函数的联系
1. 函数与正弦函数的结合
- 考虑函数 p(x)=lnx\/x * sinx。
- 分析函数 p(x)的性质，首先求其导数 p'(x)=[(1-lnx)\/x2sinx + lnx\/xcosx]。
- 由于涉及到对数函数、正弦函数和余弦函数的组合，分析起来较为复杂。
- 但可以通过观察函数在不同区间的取值情况来大致了解其性质。
- 当 x 趋近于零时，lnx\/x 趋近于无穷小，sinx 也趋近于零，两者乘积为无穷小乘以有界量，结果仍为无穷小，即 p(x)趋近于零。
- 当 x 趋近于正无穷时，由前面的分析可知 lnx\/x 趋近于零，而 sinx 是有界函数，所以 p(x)也趋近于零。
- 学子戊问道：“先生，此函数与正弦函数的结合，在实际中有何应用？”文曰：“在物理学中，某些波动现象可能涉及到类似的函数组合。例如，在研究电磁波的传播时，可能会出现与对数函数和正弦函数相关的模型，通过分析这样的函数，可以更好地理解和预测物理现象。”
2. 函数与余弦函数的结合
- 设函数 q(x)=lnx\/x * cosx。
- 求 q(x)的导数 q'(x)=[(1-lnx)\/x2cosx - lnx\/xsinx]。
- 同样，分析其性质较为复杂，但可以通过特殊点和区间的取值来进行初步判断。
- 当 x = e 时，q(e)=lne\/e * cos(e)=1\/e * cos(e)。
- 学子己疑问道：“先生，此函数与余弦函数的结合，与前面的函数有何不同之处？”文曰：“与正弦函数结合的函数 p(x)和与余弦函数结合的函数 q(x)在性质上有一定的差异。一方面，导数的表达式不同，导致其单调性和极值的分析方法也有所不同；另一方面，在实际应用中，可能会根据具体问题的特点选择不同的函数组合。”
四、函数在物理学中的拓展应用
1. 电学中的应用
- 在电学中，考虑一个电阻与电容串联的电路，其充电过程可以用函数 lnx\/x 来近似描述。
- 假设电容的电荷量为 q(t)=q(1 - e^(-t\/Rc))，其中 q 为电容的最大电荷量，R 为电阻值，c 为电容值，t 为时间。
- 当时间 t 较大时，q(t)≈q(1 - e^(-t\/Rc))≈q(1 - 1 + t\/Rc)=qt\/Rc。
- 而电容两端的电压 u(t)=q(t)\/c≈qt\/Rc2。
- 电流 i(t)=dq(t)\/dt≈q\/R * e^(-t\/Rc)，当 t 较大时，i(t)≈q\/R * e^(-t\/Rc)≈q\/R * (1 - t\/Rc)。
