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第 227 章 拉格朗日中值定理
新的一天，阳光依旧明媚，学堂里弥漫着浓厚的学习氛围。戴浩文先生精神饱满地站在讲台上，准备为学子们揭开新的数学篇章——拉格朗日中值定理。
“同学们，经过前面对拉格朗日乘数法的学习，大家都收获颇丰。今天，我们将一同走进拉格朗日中值定理的奇妙世界。”戴浩文先生的声音洪亮而富有激情。
他转身在黑板上写下拉格朗日中值定理的表达式：若函数 f(x)满足在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)内可导，则在(a,b)内至少存在一点 ξ，使得 f(b) - f(a) = f'(ξ)(b - a) 。
戴浩文先生放下粉笔，看着同学们说道：“这看似简单的式子，却蕴含着深刻的数学思想。让我们先来理解一下它的条件。”
“函数在闭区间上连续，意味着它没有断点，图像是连贯的。而在开区间内可导，表明函数在这个区间内的变化是平滑的。那为什么会得出这样一个结论呢？”戴浩朗先生开始引导大家思考。
一位同学举手提问：“先生，这个定理有什么实际的用处呢？”
戴浩文先生微笑着回答：“这是个非常好的问题。比如说，我们可以用它来证明一些不等式，还可以通过它来研究函数的单调性和凹凸性。”
接着，他在黑板上写下一个具体的函数：f(x) = x^2 在区间[0, 2]上。
“我们来看看这个函数是如何满足拉格朗日中值定理的。首先，它在闭区间[0, 2]上连续，这很显然。然后求导，f'(x) = 2x，在开区间(0, 2)内可导。”
戴浩文先生边说边计算：“根据定理，存在一点 ξ∈(0, 2)，使得 f(2) - f(0) = f'(ξ)(2 - 0) ，即 4 - 0 = 2ξ x 2 ，解得 ξ = 1 。”
