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雷内却已经不在老套路上了;她另辟蹊径,想出了一个截然不同的路子来解决这个问题,但却仅仅证明了原先的体系确实存在矛盾。“不过,还是谢谢你费心了。”
“你要另外找人看一看吗?”
“是的。我想寄给伯克利的卡拉汉看看。去年春天那次会议以来,我们一直保持着联系。”
法布里希点了点头,“他上次发表的一篇文章真的给我留下很深的印象。如果他发现了问题,请一定告诉我。我很好奇。”
雷内会用比“好奇”更强烈的字眼来形容她自己的心情。
5B
雷内对自己的研究感到绝望了吗?卡尔知道她从来不觉得数学真的困难,而只把它当成一种智力挑战。难道她是第一次遇到无法突破的难题?或者说,数学本身就是无解的吗?严格说来,卡尔自己是一个实验主义者,并不真正懂得雷内是怎么创造新的数学体系的。虽说听上去有点傻,但是——她是灵感枯竭了吗?
雷内是成年人,不会像神童那样,因为发现自己正在成为平庸的成年人而感到幻灭的痛苦。另一方面,许多数学家在三十岁之前就达到事业的巅峰。虽然她离三十岁还有几年,但也许她对这个年龄界限逼近自己而感到焦虑。
似乎不大可能,他又漫无边际地想了其他几种可能性。她会不会对学术感到愈来愈悲观?是对自己的研究过于专业化而感到悲哀吗?再不然,纯粹是对自己的工作感到厌倦了吗?
卡尔并不相信这些焦虑是雷内行为古怪的原因。果真是这样的话,他觉得自己肯定会发现蛛丝马迹。但他现在得到的印象却全然不是这么回事。令雷内感到苦恼的无论是什么,反正他猜不透。这使他感到烦恼。
6
一九三一年,库尔特·哥德尔证明了两大定理。第一个定理实际上表明:数学包含或许是真实的,但在本质上却无法证明的陈述。甚至简单如算术的形式系统也可以包含精确、有意义,而且似乎是真实无疑的陈述,但却无法用形式方法加以证明。
他的第二个定理表明:断言算术具有逻辑上的一致性,这就是上面所说的那种陈述之一,采用算术公理的任何方法都不能证明其真实性。也就是说,作为一种形式系统的算术无法保证不会得出一等于二这样的结果。这样的矛盾也许永远不会遇到,但却无法证明绝对不会遇到。
6A
卡尔再次走进雷内的书房。她站在书桌前,抬头看他。他鼓起勇气说:“雷内,显然是——”
她打断他,“你想知道我烦恼的原因吗?好吧,我告诉你。”说着便拿出一张白纸,在书桌前坐下,“等一下,这需要一点时间。”卡尔又张开嘴,但雷内挥手示意他保持沉默。接着,她深深地吸了一口气,开始写起来。
她画了一条线,穿过纸的中央,将纸分成两栏。然后,她在一栏的顶部写下数字1,另一栏的顶部写下数字2。接着她在这两个数字下面迅速地画了一些潦草的符号,又在这些符号下面把它们扩展成一串串别的符号。她边写边咬牙切齿,写下那些文字时,感觉好像她正用指甲刮过黑板似的。
写到纸的三分之二左右时,雷内开始将长串长串的符号缩短成连续的短串符号。她心里想,现在要到关键处了。她意识到自己用力过大,下意识地放松握在手中的铅笔。在她写出的下一行上,符号串变成一样的了。接着,她重重地画了个“=”号,横过纸的底部中心线。
她将纸递给卡尔。他望着她,表示看不懂。“看一看最上面吧。”他照办了,“再看一看最下面。”
他眉头紧锁。“我还是看不懂。”
“我发现了一种体系,可以使任何数字等于任何别的数字。这张纸上就证明了一和二是相等的。你随便挑两个数字,我都可以证明它们是相等的。”
卡尔似乎竭力在回忆什么。“里面肯定出现了以零为被除数的情况,对吗?”
“不对。没有不符合规则的运算,没有不严谨的术语,没有想当然假定的独立公理,全都没有。证明过程绝对没有采用任何规则禁止的东西。”
卡尔摇了摇头。“等一下。显然一和二是不相等的。”
“但在形式上它们是相等的,证明就在你手里。我使用的一切方法都是绝对无可争议的。”
“但你得出了一个矛盾的结果?”
“说对了。也就是说,算术作为一种形式系统,是不一致的。”
6B
“你找不出错误来,这就是你的意思吗?”
“不对,你没有明白我的意思。你以为我是因为这个才焦头烂额的吗?证明本身并没有错误。”
“你的意思是说,用的方法都是对的,结果却出了错?”
“正确。”
“你肯定——”他戛然而止,却太晚了。她瞪着他。她当然可以肯定。他想知道她到底想得出什么结论。
“你懂吗?”雷内道,“我已经推翻了大半个数学,这门学问全都没意义了。”
她焦躁起来,几乎快发疯了。卡尔小心翼翼地选择字眼,“你怎么能这么说?数学仍然有用。科学和经济并不会因为你这个领悟而突然崩溃的。”
“这是因为他们使用的数学纯粹是骗人的把戏,是一种口诀式的小玩意儿,跟用指关节来计算哪些月份有三十一天一样。”
“不一样。”
“为什么不一样?现在,数学与现实绝对毫无关系。且不说像虚数或者无穷小数之类的概念,就连该死的整数加法都跟用指头计算毫无关系。你用指头计算,一加一始终等于二,但在纸上我可以给你无穷多的答案,这些答案全都同样有效,这也意味着它们全都同样无效。我可以写出你见过的最优美的定理,但它却不过是一个瞎扯淡等式。”她苦笑起来,“实证主义者曾经说一切数学都是同义反复。他们错了;数学是自相矛盾。”
卡尔试了试另一种方式。“等一下。刚才你提到的虚数这类想象出来的概念,大家不也一样接受了吗?现在不也可以这样吗?数学家们曾经相信虚数没有意义,可是现在它们成了数学的基础概念。情况完全是一样的呀。”
“不一样。当时的解决方法只是扩展语境,用在这里不起作用。虚数给数学增添了新的内容,而我的形式系统却是给已经存在的东西下定义。”
“但是,如果你改变语境,从不同的角度探索——”